تحقیق حل تمرین کتاب هیدرولیک محاسباتی وروگدنهیل (ترجمه دکتر حسن کیامنش) (docx) 21 صفحه

دسته بندی : تحقیق

نوع فایل : Word (.docx) ( قابل ویرایش و آماده پرینت )

تعداد صفحات: 21 صفحه

قسمتی از متن Word (.docx) :

تمرینات درس هیدرولیک محاسباتی تمرین فصل دوم 1- به منظور تهیه روان آب ناشی از نواحی خارج از دسترس به رود خانه، به کارگیری مدل مفهومی خیلی ساده است. فرض نمائید که شرایط کامل سیستم فیزیکی را ارائه نمائید. این شرایط شامل حوضه ذخیره با سطح F و تراز آب h(t) بوده که در آن بارندگی با شدت r(t) در واحد سطح جمع آوری می گردد. رواناب در رودخانه Q فرض می گردد که متناسب با اختلاف h-h0 بوده و ضریب ثابت تناسب برابر q است. پارامتر های مجهول F، q،h0 با استفاده از آمار مشاهده شده بارندگی و رواناب برآورد می شوند. متغیر در مدل برابر با Q(t) می باشد. Qt=qh-h0 1 V=Fht=Fh-h0 Q= Vt=Fh-h0t →Qt=F∂h∂t 2 h-h0∆t=∂h∂t از (1) و (2) داریم: F∂h∂t=qh-h0→ Qt=qht-qh0 2- یک دانه شن به جرم m به درون آب ساکن می افتد. فرض نمائید که این دانه شن دارای جرم اضافی به اندازه ma به خاطر شتاب آن جابجا شده است. در مقادیر پائین سرعت سقوط w(t)، نیروی مقاوم متناسب با سرعت سقوط و سطح مقطع A دانه شن است. متغیر در مدل، w(t) می باشد. F=mg→F=m+mawt m=m+ma g=wt F=wtA →wtA= m+mawt تمرینات فصل سوم 1-نشان دهید که خطای برش روش صریح بوسیله معادله (3-9) ارائه می شود (جهت اشاره نقطه پایه برای سری تیلر در زمان (t+∆t)منظور گردد). θ-12∆t∂2c∂t2+O(∆t2) نکته: نقطه ی پایه برای سری تیلر را در زمان (t+∆t) در نظر بگیرید. سری تیلر در زمان :tj Cej-Cjtj=∂C∂t-12∆t∂2C∂t2 سری تیلر در زمان :tj+1 Cej+1-Cj+1tj+1=∂C∂t+12∆t∂2C∂t2 Ce-Ct=θCej+1-Cj+1tj+1+(1-θ)(Cej-Cjtj) =θ∂C∂t+12∆t∂2C∂t2+1-θ∂C∂t-12∆t∂2C∂t2 =θ∂C∂t+12θ∆t∂2C∂t2+∂C∂t-12∆t∂2C∂t2-θ∂C∂t+12θ∆t∂2C∂t2 =∂C∂t-12∆t∂2C∂t2+θ∆t∂2C∂t2→T.E=(θ-12)∆t∂2C∂t2 2- چه گام زمانی برای مثال بخش 3-3 می تواند بکار می رود اگر روش غیر صریح با θ=12 بکار رود؟ ویا اگر θ=1 باشد؟ ضریب بزرگنمایی در روش غیر صریح برابر است با: ρ=1-1-θ∆tT1+θ∆tT برای تعیین گام زمانی مناسب باید ρ<1 باشد. از طرفی T=2.5 days می باشد. if θ=12 , T=2.5 days 1-1-12∆t2.51+12×∆t2.5<1 →1-∆t51+∆t5<1→-1<1-∆t51+∆t5<1 1-∆t5<1+∆t5 → 2∆t5 >0 → ∆t>0→ بدیهی -1-∆t5<1-∆t5 → -2 <0 → بدیهی مقدار θ=12 برای ∆t هیچ محدودیتی ایجاد نمی کند. if θ=1 , T=2.5 days 1-1-1∆t2.51+∆t2.5<1 →11+∆t2.5<1→-1<11+∆t2.5<1 1<1+∆t2.5 → ∆t2.5 >0 → ∆t>0→ بدیهی -1-∆t2.5<1 → ∆t >-5 تمرینات فصل چهارم 1- رود خانه ای با سطح مقطع 200 مترمربع را در نظر بگیریدکه دبی ثابت 100 مترمکعب بر ثانیه. از آن عبور می نماید. در نقطه ی x=0 مقدار 100 kgs نمک از زمان t=0 تا t=15 دقیقه تخلیه می گردد. آب رود خانه در آغاز حاوی هیچگونه نمک نیست. اگر پخشیدگی نادیده گرفته شود غلظت: در x=2 کیلومتر و t=1800 ثانیه؛ U=QA=100200=0.5 ms t1=15×60=900 s ∆t=1800-900=900 s x=U∆t=0.5*900=450 m C=100×900450×200=1 kgm3 در x=1 کیلومتر و t=2400 ثانیه، چه خواهد بود؟ ∆t=2400-900=1500 s x=U∆t=0.5×1500=750 m C=100×900750×200=0.6 kgm3 2- در محاسبات غیر پایدار ارایه شده در شکل (6-4) موجی با طول موج حدود 3 کیلومتر را مورد توجه قرار دهید. میزان رشد گام زمانی این موج را محاسبه نمائید. اینکار نقش چگونگی کارکرد غیر پایداری را ارائه می دهد. ξ=2π∆xL=2π∆x3=2∆x σ=U∆t∆x=0.5∆t∆x ρ=1-σisinξ=1-0.5∆t∆xisin2∆x ρ<1 → -1<1-0.5∆t∆xisin2∆x<1 1→ 1-0.5∆t∆xisin2∆x<1→ 0.5∆t∆xisin2∆x>0 → بدیهی 2→ -1<1-0.5∆t∆xisin2∆x→ 0.5∆t∆xisin2∆x<2 →∆t<4∆xisin2∆x تمرینات فصل پنجم 1-نشان دهید که معادله (5-1) یک تقریب معمولی از معادله موج ساده است. برای انجام این امر معادله تفاضل محدود را بقرار ذیل بنویسید: cj=pcj+qcj+rcj+1 این را در سری تیلر بسط داده و ضرایب متناظر در معادله دیفرانسیلی را مساوی قرار دهید. در خواهید یافت که دو شرط برای سه ضریب p، q و r وجود دارند. بطوریکه یک درجه آزادی باقی می ماند که می تواند در جملاتی از α چون معادله (5-1) فرموله شود. ∂C∂t=Cjn+1-Cjn∆t=Cjn+1-(pCj-1+qCj+rCj+1)∆t p+q+r=1 p=r q=1-2r 2r=α p+r=∝ →p=r=α2 ∂C∂t=Cjn+1-(α2Cj-1+(1-α)Cj+α2Cj+1)∆t 2-خطای برشی روش لیپ فراگ را تعیین کنید و نشان دهید که از مرتبه ی دوم است و بنا براین دقیق تر از روش لکس اصلاح شده می باشد. Cjn+1-Cjn-12∆t+uCj+1n-Cj-1n2∆x=0 Cjn+1=Cjn+∂C∂t∆t+∂2C∂t2Δt22+∂3C∂t3Δt36+… Cjn-1=Cjn-∂C∂t∆t+∂2C∂t2Δt22-∂3C∂t3Δt36+… دو رابطه را از هم کم می کنیم: Cjn+1-Cjn-1=2∂C∂t∆t+2∂3C∂t3Δt36+…→∂C∂t=Cjn+1-Cjn-12∆t+∂3C∂t3Δt26+.. Cj+1n=Cjn+∂C∂x∆x+∂2C∂x2Δx22+∂3C∂x3Δx36+… Cj-1n=Cjn-∂C∂x∆x+∂2C∂x2Δx22-∂3C∂x3Δx36+… دو رابطه را از هم کم می کنیم: Cj+1n-Cj-1n=2∂C∂x∆x+2∂3C∂x3Δx36+…→∂C∂x=Cj+1n-Cj-1n2∆x+∂3C∂x3Δx26+.. ∂C∂t+u∂C∂x=0 Cjn+1-Cjn-12∆t+uCj+1n-Cj-1n2∆x+u∂3C∂x3Δx26+∂3C∂t3Δt26+…=0 T.E=O(Δt2+uΔx2) 3- خطای برشی در روش بالادست در مثال 4-11 را تعیین کنید. Cjn+1-Cjn∆t+uCjn-Cj-1n∆x=0 Cjn+1=Cjn+∂C∂t∆t+∂2C∂t2Δt22+∂3C∂t3Δt36+…→∂C∂t =Cjn+1-Cjn∆t- ∂2C∂t2Δt22+… Cj-1n=Cjn-∂C∂x∆x+∂2C∂x2Δx22-∂3C∂x3Δx36+…→∂C∂x =Cjn-Cj-1n∆x+∂2C∂x2Δx22+… ∂C∂t+u∂C∂x=0 Cjn+1-Cjn∆t- ∂2C∂t2Δt22+uCjn-Cj-1n∆x+u∂2C∂x2Δx22+…=0 T.E.=O(-12Δt2+12uΔx2) تمرین فصل هفتم در دشت وسیعی یک لایه آب زیر زمینی به عمق تقریبی 20 متر دارید. ضریب نفوذپذیری 10-4 ms می باشد. قصد بر این است که قسمتی از آب را برای آبیاری یا اهداف شهری استخراج کنیم. برای انجام اینکار یک ردیف چاه حفر می شوند؛ در این صورت توزیع استحصال آب به میزان q متر مکعب در ثانیه در نظر بگیرید. باید رفتار آب زیر زمینی را بطور عددی شبیه سازی نمائید، زمان بارندگی را 3 ماه در نظر بگیرید. در سطح مقطع عمود بر ردیف چاه ها فرمول یک بعدی دوپویی را بکار ببرید که در این فصل بحث شد. الف) کجا مرزهای ناحیه محاسباتی گزیده شوند؟ اگر این خط چاه طول L داشته باشد و نصف آن را در نظر بگیریم می توان شرط مرزی را در ناحیه تقارن قرار داد. همچنین می توان شرایط اولیه را برای سطح آب در خط چاه قرار داد که در آنجا فشار ثابت است. ب) چه شرایط مرزی بکار رود؟ ∂h∂z=0 , z=20 →h=0 ج) فاصله گره ای ∆x را برآورد نمائید. 25 متر د) گام زمانی ∆t را برآورد نمائید. 0.5 ساعت ه) کدام روش صریح یا غیر صریح را بکار می برید ؟ روش غیر صریح تمرینات فصل نهم 1-ضریب پخش را با داده های زیر تعیین کنید. a=18 m ∅0=0.2 rad S0=1.5×106 m3year D=S0∅0.a=1.5×1060.2×18=0.42×106 m2year 2. مثال بخش 9-3 چنانچه از روش کرانک نیکلسون با ∅=0.5 استفاده نماییم گام زمانی را بیابید. ∂y∂t-D∂2y∂x2=0 :روش کرانک نیکسون hjn+1-hjn=λ(θhj+1n+1-2hjn+1+hj-1n+1+(1-θ)(hj+1n-2hjn+hj-1n) hjn=ρnexpijξ ρn×ρexpijξ-ρnexpijξ= λ(θ(ρn×ρexpijξexpiξ-2ρnexpijξ+ρnexpijξexp-iξ) ρnexpijξ+ (1-θ)(ρn×ρexpijξexpiξ-2ρnexpijξ+ρnexpijξexp-iξ) ρnexpijξ =λ(θρ(cosξ-1)+(1-θ)(cosξ-1)) ρ=(1+λ(1-θ)(cosξ-1))1-λθ(cosξ-1)→if θ=0.5→(1+0.5λ(cosξ-1))1-0.5λ(cosξ-1)≤1 -1≤(1+0.5λ(cosξ-1))1-0.5λ(cosξ-1)≤1→1+0.5λ(cosξ-1)≤ 1-0.5λ(cosξ-1)→λ(cosξ-1)≤0→ if cosξ=1 →0=0if cosξ=-1→λ≥0 تمرین فصل یازدهم 1. نشان دهید فاکتور تقویت سازی برای روش کرانک- نیکلسون بوسیله معادله 11-8 داده می شود. و همچنین نشان دهید که این روش برای 12≤θ≤1 بدون شرط پایدار است. Cjn+1-Cjn∆t=-θuCj+1n+1-Cj-1n+12∆x-DCj+1n+1-2Cjn+1+Cj-1n+1∆x2- -1-θuCj+1n-Cj-1n2∆x-DCj+1n-2Cjn+Cj-1n∆x2 ρn×ρexpijξ-ρnexpijξρnexpijξ=-θ(λ(ρn×ρexpijξexpiξ- ρn×ρexpijξexp-iξ ρnexpijξ) -σ(ρn×ρexpijξexpiξ-2ρn×ρexpijξ+ ρn×ρexpijξexp-iξ ρn×ρexpijξ -(1-θ)((λρnexpijξexpiξ-2ρnexpijξ+ρnexpijξexp-iξ ρnexpijξ) -σ(ρnexpijξexpiξ-2ρnexpijξ+ρnexpijξexp-iξ ρnexpijξ))→ρ =1+λ(1-θ)(cosξ-1)-(1-θ)iσsinξ1-λθ(cosξ-1)+θisinξ→ρ≤1→-1 -1≤1+λ(1-θ)(cosξ-1)-(1-θ)iσsinξ1-λθ(cosξ-1)+θisinξ≤1 1+λ(1-θ)(cosξ-1)-(1-θ)iσsinξ≤1-λθ(cosξ-1)+θisinξ→θ≥12 1+λ(1-θ)(cosξ-1)-(1-θ)iσsinξ≥-1+λθ(cosξ-1)-θisinξ→θ≤1 2. نشان دهید روش FTCS برای معادله پخش پایدار است اگر .σ2≤λ≤1 Cjn+1-Cjn∆t+uCj+1n-Cj-1n2∆x-DCj+1n-2Cjn+Cj-1n∆x2=0 ρ=1+λ(cosξ-1)-iσsinξ→ρ≤1→ (1+λ(cosξ-1)-iσsinξ)2≤1→2λ+λ2(cosξ-1)-σ2(1+cosξ)≥0 if cosξ=1→2λ-2σ2≥0→λ≥σ2 if cosξ=-1→-2λ-2λ2≥0→λ≤1 تمرین فصل دوازدهم 1.ضریب پخش عددی رابطه (12-14) را برای روش بالادست صریح استخراج نمائید. uCjn-Cj-1n∆x-DCj+1n-2Cjn+Cj-1n∆x2=0 ρnexpijξ-ρnexpijξexp-iξ ρnexpijξ= λρnexpijξexp+iξ-2ρnexpijξ+ρnexpijξexp-iξ ρnexpijξ →1-exp-iξ=2λ(cosξ-1) , λ=Du∆x→Dnum=12u∆x تمرین فصل چهاردهم 1.شرط پایداری برای معادله 3-14 با استفاده از روش FTCS بدست آورید. u∂C∂x+ws∂C∂z-∂∂zD∂C∂z=0 uCjn+1-Cjn∆x+wsCj+1n-Cj-1n2∆z-DCj+1n-2Cjn+Cj-1n∆z2=0 u∆xρn×ρexpijξ-ρnexpijξρnexpijξ+ ws∆zρnexpijξexpiξ- ρnexpijξ exp-iξ ρnexpijξ- D∆z2ρnexpijξexpiξ-2 ρnexpijξ+ρnexpijξρnexp-iξ ρnexpijξ=0 u∆xρ-1+λ(cosξ-1)=σisinξ شرایط پایداری را برای حالات زیر بدست آورید. 1- روش ریچاردسون: ∂u∂t=α∂2u∂x2 uj=ρnexpijξ ujn+1-ujn-12∆t=αuj+1n-2ujn+uj-1n∆x2 ρn×ρexpijξ-ρn×ρ-1expijξ2∆t= αρnexpijξ+iξ-2ρnexpijξ+ρnexpijξ-iξ ∆x2 →ρ-1ρ=8α∆t∆x2(cosξ-1)→ρ2-1=ρλsin2β2 ρ2-1-ρλsin2β2=0→ρ=λsin2β2±4-λ2sin4β22 2.روش کرانک نیکلسون: ujn+1-ujn∆t=α1∆x2uj+1n+1-2ujn+1+uj-1n+1+uj+1n-2ujn+uj-1n ρn×ρexpijξ-ρnexpijξ∆t = α1∆x2{ρn×ρexpijξexpiξ-2ρn×ρexpijξ+ρn×ρexpijξexp-iξ+ρnexpijξexpiξ- 2ρn×ρexpijξ+ρn×ρexpijξexp-iξ}→ρ-1 =α∆t∆x2(ρ(cosξ-1)+(cosξ-1)→ρ=1+λ(cosξ-1)1-λ(cosξ-1) اگر حالات حدیcosξرا قرار دهیم شرایطی برای زمان ایجاد نمی شود و تمام حالات بدیهی خواهند بود. 3. روش بالادست: ∂u∂t+C∂u∂x=0 ujn+1-ujn∆t+Cujn-uj-1n∆x=0 →ρn×ρexpijξ-ρnexpijξ ρnexpijξ+ C∆t∆xρnexpijξ -ρnexpijξexp-iξ ρnexpijξ =0→ρ-1 =1-exp-iξ→ρ=λ(cosξ-1)+λisinξ+1 ifρ≤1→λ≥12 4.روش لیپ فراگ: Cjn+1-Cjn-12∆t+uCj+1n-Cj-1n2∆x=0 Cjn+1-Cjn-12∆t=-uCj+1n-Cj-1n2∆x→Cjn+1=Cjn-1-u∆t∆xCj+1n-Cj-1n →Cjn+1Cjn-1=1-σCj+1n-Cj-1nCjn-1→Cjn+1Cjn×CjnCjn-1 =1-σCj+1n-Cj-1nCjn-1→ρn×ρexpijξρnexpijξ×ρnexpijξρn×ρ-1expijξ =1-σ(ρnexpijξexpiξ-ρnexpijξexp-iξ ρnρ-1expijξ) ρ2=1-σρnexpijξ(expiξ-exp-iξ) ρnρ-1expijξ→ρ2 =1-2ρσisinξ→ρ2+2ρσisinξ-1=0→ifρ≤1 →σ≤1 5.روش اویلر صریح: ujn+1-ujn∆t+Cuj+1n-ujn∆x=0 →ρnρexpijξ-ρnexpijξρnexpijξ+ λρnexpijξexpiξ+ρnexpijξ ρnexpijξ=0→ρ=1+λ(expiξ+1) تمرینات کلاسی 1- نشان دهید تقریب مشتق دوم مرتبه دوم به صورت زیر بدست می آید. ∂2f∂h2=fi+2-2fi+1+fi∆x2+o∆x fx+∆x=fx+∆x∂f∂x+∆x22∂2f∂x2+∆x36∂3f∂x3+… (1) fx+2∆x=fx+2∆x∂f∂x+∆x22∂2f∂x2+∆x36∂3f∂x3+… (2) معادله 1 را در 2 ضرب کرده و از معادله 2 کم میکنیم: -2fx+2∆x+fx+2∆x=-2fx+∆x21∂2f∂x2+∆x31∂3f∂x3+… fi+2-2fi+1+fi+∆x2∂2f∂x2+∆x3∂3f∂x3+… ∂2f∂h2=fi+2-2fi+1+fi∆x2+o∆x 2- با نوشتن سری تیلور برای عبارتهای fi+1و fi-1 مشتق دوم به صورت مرکزی پیدا کنید. برای حل معادله فوق کافی است عبارت سری تیلور fx+∆x و fx-∆x بنویسیم و سپس آنها را با هم جمع کنیم. fx+∆x=fx+∆x∂f∂x+∆x22∂2f∂x2+∆x36∂3f∂x3+… fx-∆x=fx-∆x∂f∂x+∆x22∂2f∂x2-∆x36∂3f∂x3+… fx+∆x+fx-∆x=2fx+∆x21∂2f∂x2+… fi+1+fi-1=2fi+∆x2∂2f∂x2+… → ∂2f∂x2=fi+1-2fi+fi-1∆x2+O(∆x)2 3- مشتق اول تابع fx=tan(πx4) را در نقطه x=1.5 با استفاده از تقریب های مرتبه اول پیشرو و پسرو حساب کنید. از گام های 0.01 و 0.5 و 0.8 استفاده کرده و نتایج را با هم مقایسه کنید. ∂f∂x=fi+1-fi∆x+o∆x forward,∂f∂x=fi-fi-1∆x+o∆x backward first step for ∆x=0.01: f1.5=f1.5+0.1-f1.50.01+O0.01=f1.51-f1.50.01→ f1.5=5.46680362 F f1.5=f1.5-f1.490.01+O0.01 →f1.5=5.26334310 B second step for ∆x=0.5: f1.5=f2-f1.50.5+O0.5 →f1.5=∞ F f1.5=f1-f10.5+O0.5 →f1.5=2.82842712 B third step for ∆x=0.8: f1.5=f2.3-f1.50.8+O0.8 →f1.5=-8.22439 F f1.5=f1.5-f0.70.8+O0.8 →f1.5=2.251659 B حل دقیق: fx=tanπx4→ f1.5=5.360315293 exact BerrorFerrorBackwardForward∆x%9.69%1.065.263343105.46683620.01%47.23∞2.82842712∞0.5%58%253.42.2517659-8.224390.8 4- مقادیر x,y را در PDE چنان تعیین کنید که معادلات بیضوی، کروی، یا هذلولوی شوند. Sinx∂2∅∂x2+2cosx∂2∅∂x∂y+sinx∂2∅∂y2=0 حل: A=sinx , B=2cosx , C=sinx B2-4AC=0 4cos2x-4sin2x=0 →x=45° : شود سهموی معادله اگر B2-4AC>0 cos2x-sin2x>0 →x=0 , π : شود هذلولوی معادله اگر B2-4AC<0 cos2x-sin2x<0 →x= π2,3π2 : شود بیضوی معادله اگر 5- با تحلیل ون نیومن پایداری روش رافورت فرانکل را بدست آورید. uin+1=uin-1+2α∆t∆xui+1n-uin+1-uin-1+ui-1n : حل if:α∆t∆x=R , uin=uneip∆xI , θ=p∆x , I-1 uin+1=un+1eIθi , uin-1= un-1eIθi ,ui+1n= uneIθi+1 ,ui-1n=uneIθi-1 un+1eIθi=un-1eIθi+2RuneIθi+1-un+1eIθi+un-1eIθi+uneIθi-1 if G=un+1un→ G=1G+2ReIθ+e-Iθ-G-1G , cosβ=eIθ+e-Iθ2 G=1G+2R2cosβ-G-1G , ∝=G- 1G G-1G=2R2cosβ-∝ → ∝1+2R=4Rcosθ ∝=4Rcosθ 1+2R → G-1G=4Rcosθ 1+2R , if γ=4Rcosθ 1+2R →G-1G=γ G2-Gγ-1=0 , G=γ±γ2+42=4Rcosθ 1+2R±(4Rcosθ 1+2R)2+42 →4Rcosθ 1+2R±16R2cos2θ+41+2R21+2R2 2Rcosθ±1-4R2sin2β 1+2R , sin2θ+cos2θ=1 G=2Rcosθ±1-4R2sin2β 1+2R , G≤1 روش رافورت-فرانکل بدون قید وشرط پایدار است برای r≥0 6- معادلات دیفرانسیل پاره ای مرتبه دوم زیر را دسته بندی کنید. Uxx-Uxy+Uy=1 Uxx-Uxy=1-Uy , Uxx-Uxy=H A=1 , B=-1 , C=0 , B2-4AC=1-4*1*0=1≥0 معادله از نوع هذلولوی است. 7- Utt+Uxx+Ux=e-kt Utt+Uxx=-Ux+e-kt→ Utt+Uxx=H , A=1, B=0, C=1 B2-4AC=0-4*1*1=-1<0 معادله از نوع بیضوی است. 8- معدله زیر را دسته بندی کنید و به شکل کانونی بنویسید. 2Uxx-4Uxy-2Uyy+3U=0 2Uxx-4Uxy-2Uyy=H A=2 , B=-4 , C=-2 , B2-4AC=16-4*-2*2=32>0 معادله از نوع هذلولوی است پس دو جواب مشخصه دارد. dydx=λ1 , dydx=λ2 , -B±B-4AC2A=λ1 =0.42λ2 =-2.42 ∅ξɳ=λ∅ξ,∅ɳ,∅,ξ,ɳ , ∅ξɳ=0 ξ=y-xλ1 , ɳ=y-xλ2