پاورپوینت روش حل معادله‌های انتگرالی (pptx) 25 اسلاید
دسته بندی : پاورپوینت
نوع فایل : PowerPoint (.pptx) ( قابل ویرایش و آماده پرینت )
تعداد اسلاید: 25 اسلاید
قسمتی از متن PowerPoint (.pptx) :
روش حل معادله‌هاي انتگرالي
تاكنون شيوة فرمول‌بندي انتگرالي مطرح شد. در اين بخش نحوة تعيين تابع مدل ارائه مي‌شود. در اين فرمول‌بندي براي تعيين تابع مدل از روش تقريبي استفاده مي‌شود:
تابع مدل را به‌صورت حاصل ضربي از چند تابع مستقل و به‌صورت چند‌جمله‌اي با ضرايب نامعين در نظر مي‌گيرند.
با كمك شرايط مرزي و اوليه مسئله و جاي‌گذاري در معادله انتگرالي ضرايب نامعين مشخص مي‌شود و در نتيجه تابع اصلي به‌دست مي‌آيد.
انتخاب شكل تقريبي تابع مدل معمولاً براساس دو روش است:
روش ريتز (method Ritz)
روش كانترويچ (method Kantorovich)
روش ريتز (method Ritz)
اين روش معمولاً در شرايطي بكار مي‌رود كه مسئله از نوع شرط مرزي (BVP) باشد. اگر متغيرهاي مستقل سيستم از نوع ابعاد مكاني (z,y,x) باشد،
اولاً تابع مدل به‌صورت زير نوشته مي‌شود:
دوم اينكه، درجة هرچندجمله‌اي معمولاً معادل با رتبة معادلة ديفرانسيل خواهد بود. مثلاً اگر معادله ديفرانسيل از نظر متغير x از رتبه دوم باشد، تابع X(x) يك چند جمله‌اي درجة دوم انتخاب مي‌شود. همچنين در اين چندجمله‌اي‌ها همواره از ضريب بالاترين درجه فاكتورگيري كرده و آنرا به‌صورت يك ضريب كلي در نظر مي‌گيرند، به‌صورت زير:
سوم اينكه، ضرايب چند جمله‌اي‌ها ابتدا با كمك شرايط مرزي مسئله تعيين مي‌شوند و در انتها ضريب كلي A با جاي‌گذاري تابع f(x,y,z) در فرمول انتگرالي مسئله به‌دست مي‌آيد.
روش كانترويچ (method Kantorovich)
از اين روش هم براي حل مسائل شرط اوليه (IVP) و هم شرط مرزي مي‌توان استفاده كرد. در اين روش شكل يكي از توابع معادله مجهول و نامشخص بوده كه پس از جاي‌گذاري در معادلة انتگرالي مدل، نوع آن مشخص خواهد شد. به‌صورت:
در معادلة بالا تابع Z(z) پس از جاي‌گذاري در معادله انتگرالي مدل تعيين مي‌شود. چنانچه مسئله‌اي داراي شرط اوليه باشد براي مثال در مسائلي كه در شرايط ناپايدار قرار دارند، تابع وابسته به زمان داراي شرط اوليه است ، در اين صورت لازم است كه تابع زمان به‌صورت نامشخص انتخاب شود مانند:
در معادله بالا تابع (t)t پس از جاي‌گذاري در معادلة انتگرالي مسئله تعيين مي‌شود.
مسئله
مطابق شكل، يك ميله مكعب‌مستطيل شكل در محيطي به دماي و ضريب انتقال حرارت h قرار دارد. سطح مقطع اين ميله 2l.2L است و عمق آن نسبت به ساير ابعاد زياد است. در اين ميله، نرخ حرارت در واحد حجم به‌طور يكنواخت توليد مي‌شود. تغييرات دماي پايدار اين ميله را در شرايط زير با روش انتگرالي به‌دست آوريد.
الف: ضريب انتقال حرارت محيط زياد است .
ب: ضريب انتقال حرارت محيط كم است.
فرض‌هاي مسئله
1- گراديان دما نسبت به عمق ميله ناچيز است.
2- شرايط پايدار برقرار است.
3- انتقال حرارت از سطوح جانبي كوچك (جلو و عقب) ناچيز است.
برحسب فرض‌هاي فوق دماي ميله فقط تابعي از y,x است، بنابراين سيستم مورد مطالعه يك المان مكعب مستطيلي به ابعاد در نظر گرفته مي‌شود، به طوري كه w عمق ميله است.
فرمول‌بندي مسئله
براي فرمول‌بندي انتگرالي حرارت مي‌توان از معادلة كلي حرارت در مختصات كارتزين به‌صورت انتگرال‌گيري شده استفاده و برحسب فرض‌هاي مسئله از عبارت‌هاي غيرلازم صرفنظر كرد. راه ديگر اين است كه به‌طور مستقيم بر روي المان اين مسئله مدل‌سازي انتگرالي حرارت را به‌دست آورد. در اينجا از مسير دوم استفاده مي‌شود، بنابراين موازنة حرارت المان اين مسئله عبارت است از:
درجهت x (نرخ حرارت خروجي – نرخ حرارت ورودي)
درجهت y (نرخ حرارت خروجي – نرخ حرارت ورودي)
نرخ توليد حرارت
فرمول‌بندي مسئله
در اين حالت فرمولهاي بالا را به‌صورت انتگرال‌گيري شده در معادلة موازنه حرارت قرار داده شده و از w نيز صرفنظر مي‌شود:
مي‌توان از dxdy در معادلة بالا فاكتورگيري كرد:
و به‌جاي qx و qy برحسب معادله فوريه جايگزين كرد:
مي‌توان معادلة بالاي صفحه را به شكل ديگري نيز تبديل كرد به‌طوري‌كه از هر عبارت نسبت به‌صورت مكاني انتگرال‌گيري انجام داد، به‌صورت زير:
فرمول‌بندي مسئله
مجددا مي توان به‌جاي qx و qy برحسب معادلة فوريه جايگزين كرد:
بنابراين فرمول‌بندي انتگرالي مسئله به صورت معادله هاي زير حاصل مي‌شود:
يا
در اين مرحله لازم است شرايط مرزي مسئله مشخص شوند.
حل قسمت الف
براي اين مرحله با توجه به اينكه h بزرگ است:
با توجه به اينكه دو شرط مرزي غيرهمگن وجود دارد بايد قبلاً با يك تغيير متغير ساده آنها را همگن كرد، بنابراين:
در اين مرحله لازم است تابع مدل اتخاب شود.